Introdução à Teoria ergódica (MAC849)

Exercícios

Parte 1: História, Aplicações não-singulares, Conservatividade, Recorrência e Medidas invariantes.
Parte 2: Teoremas ergódicos de van Neumann, Birkhoff e Kingman, decomposição ergódica.
Parte 3: Unicidade ergódica, Weak mixing, Exemplo de Chacon, equivalência espectral, Entropia.
Parte 4: Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius, Princípio variacional, Aplicações.

1a prova: 12/11/2024. Gabarito da P1, resultados.
2a prova: 5/12/2024. Ementa da prova: Entropia e Formalismo Termodinâmico, excluindo o Teorema de Ruelle: Assuntos apresentados nas páginas 97 a 110 e 121 a 134 das notas de aula.
Apresentações: 12/12 e 13/12

A prova ‘classica’ de Garcia do teorema ergódico, baseado no teorema ergódico maximal: Einsiedler/Ward: Th. 2.24, Petersen – Ergodic Theory: Section 2.2, p. 27;
O teorema de Livšic sobre a relação entre a função potencial e o estado de equilíbrio (Theorem 12.2.1 em Viana-Oliveira: Foundations of Ergodic Theory);
O artigo de Karlsson/Margulis – A multiplicative ergodic theorem and nonpositively curved spaces (Communications in Math. Phys. 1999): Enunciado do teorema de Karlsson/Margulis, enunciado do teorema de Osoledets, e esboço da prova, usando Karlsson/Margulis

M. Viana e K. Oliveira: Fundamentos da Teoria Ergódica, SBM 2014
M. Einsiedler e T. Ward: Ergodic theory (with a view towards number theory), GTM 259, Springer 2011
P. Walters: Introduction to ergodic theory, GTM 79, Springer 1978.
O. Sarig: Lecture Notes on Ergodic Theory, 2009. Notas de aula.

Medidas invariantes. Existência, recorrência, conservatividade e a Formúla de Kac. Exemplos: Espaços de shift, Transformações expansoras, Rotação do circulo, Automorfismos do toro
Ergodicidade. Caracterização, teoremas ergódicos, decomposição ergódica de medidas invariantes.
Mixing. Weak mixing, mixing e exatidão, caracterização espectral, Critério de Lin, Decaimento de correlações. Exemplos: Chacon
Entropia. Teoremas de Kolmogorov-Sinai, Shannon-McMillan-Breiman e Brin-Katok. Fórmula de Abramov.
Pressão topológica e princípio variacinal. Princípio variacional para mapas contínuos, estados de equilíbrio
Aplicações