Projetos de Iniciação Científica são de grande importância no Bacharelado. Permitem o estudante a investigar novas e diferentes áreas de Matemática, conforme seus próprios interesses e sua própria curiosidade. Você vai trabalhar em conjunto com um(a) orientador(a) em um projeto que pode ser focado ou abrangente. Pode ser direcionado mais para pesquisa científica, ou conectado com um problema que vem da indústria. A Iniciação Científica é uma das maneiras de cumprir o requisito MACX13 Projeto de Matemática mas, de forma geral, é importante para conectar os conteúdos das disciplinas do curso com seu percurso futuro científico e profissional.
Possíveis Projetos (1º ao 4º períodos, aprox.):
Equações diferenciais em redes [Equações Diferenciais, Análise]
Uma rede é composta por um conjunto de vértices, ligados entre eles por arestas. A análise de equações diferenciais sobre redes têm um interesse pelas suas aplicações em modelos de tráfego veicular e redes neuronais. Procuramos estudar a existência e unicidade para diferentes modelos, dependendo da EDO em cada aresta, e as condições de conservação de fluxo em cada vértice. Espera-se validar os resultados teóricos com implementações numéricas. Conhecimento desejável: Teoria básica de EDO, Análise Real
Prof. Erwin Topp – etopp@im.ufrj.br
Como Encontrar Invariantes Algébricos de Espaços Geométricos [Geometria, Álgebra]
Vamos investigar como construir novos espaços geométricos e topológicos a partir de espaços mais simples. Além disso, podemos diferenciar entre os espaços que obtemos, generalizando a ideia do “número de buracos” em uma superfície, associando a cada espaço um grupo ou outro objeto algébrico. Deveria ter cursado Fundamentos de Matemática e, talvez, Teoria de Grupos.
Prof. Andrew Clarke – andrew@im.ufrj.br
Prof. Matias del Hoyo – mdelhoyo@im.ufrj.br
A geometria do espaço de matrizes [Álgebra Linear, Geometria]
Introduziremos noções básicas de topologia a partir do estudo da geometria do espaço das matrizes invertíveis. Em uma primeira etapa, revisaremos matrizes ortogonais, matrizes simétricas definidas positivas e a decomposição polar. Em seguida, usaremos essa decomposição para estudar caminhos no espaço de matrizes e mostrar como deformar qualquer matriz invertível em uma matriz ortogonal de modo intrínseco. Finalmente, focaremos no estudo de SO(3), abordando o fato clássico de que esse espaço não é simplesmente conexo, fenômeno que pode ser visualizado de forma concreta. Conhecimento desejável: Álgebra Linear, Geometria Analítica
Prof. Matias del Hoyo – mdelhoyo@im.ufrj.br
Prof. Andrew Clarke – andrew@im.ufrj.br
Possíveis Projetos (5º ao 8º períodos, aprox.):
Superfícies de Riemann e o Teorema de Riemann-Roch [Análise Complexa, Geometria]
O Teorema de Riemann-Roch é um resultado fundamental para relacionar dados analíticos (a dimensão de um certo espaço de funções meromerfas) com dados topológicos (o gênero) de uma superfície de Riemann. Deveria ter cursado Análise I e, talvez, Funções Complexas.
Prof. Andrew Clarke – andrew@im.ufrj.br
Caos e Estruturas Complexas [Sistemas Dinâmicos, Análise]
Exploraremos o mundo do caos: sistemas simples que, ao evoluírem no tempo, podem gerar padrões surpreendentemente complexos. Usaremos ferramentas de probabilidade e geometria para entender como surgem formas irregulares, como medir a complexidade de movimentos e por que certos comportamentos parecem imprevisíveis. O objetivo é introduzir o aluno a métodos modernos do estudo do caos e à beleza dos conjuntos fractais. Exemplos aparecem no estudo de frações contínuas, na simples multiplicação de matrizes ou em equações diferenciais ordinárias. Conhecimento desejável: Deveria ter cursado Análise I e II, talvez Teoria da Medida.
Profa. Katrin Gelfert – gelfert@im.ufrj.br
Uma introdução ao Teorema de Gelfand–Kolmogorov [Topologia Geral, Análise Funcional, Álgebra Comutativa]
A geometria de um espaço topológico X se reflete algébricamente no anel C(X) de funções contínuas. O Teorema de Gelfand-Kolmogorov garante que se X é compacto Hausdorff então podemos recuperar X de C(X), estudando ideais maximais e homomorfismos avaliativos. Com exemplos concretos, abordaremos uma visão moderna das interações entre análise, topologia e álgebra, servindo de ponte para áreas como a análise funcional e a geometria não comutativa. Conhecimento desejável: Teoria de Anéis, Análise II
Prof. Matias del Hoyo – mdelhoyo@im.ufrj.br
Controle Ótimo e Equações de Hamilton-Jacobi [EDO, EDP, Análise Funcional]
O objeto deste projeto é estudar o problema de Controle Ótimo Determinista e sua relação dual com as equações de Hamilton-Jacobi. Espera-se entender modelos básicos da teoria que aparecem nas aplicações em engenharia, e, usando métodos de EDP, fazer estimativas sobre a solução do problema de controle, sintetizar os controles ótimos e implementar modelos numéricos. Conhecimento relevante: EDP, Teoria da Medida, Análise Funcional.
Prof. Erwin Topp – etopp@im.ufrj.br
Equações diferenciais complexas e holonomia [Análise Complexa, Topologia Geral, Física Matemática.]
A partir de exemplos clássicos, estudaremos equações diferenciais lineares de segunda ordem no plano complexo com pontos singulares regulares, explorando como o comportamento de suas soluções está relacionado com a holonomia. Essa noção é central no Problema 21 de Hilbert, que pergunta se toda representação de monodromia pode ser realizada por uma equação diferencial com singularidades regulares. Conhecimento desejável: Funções Complexas I, Análise II
Prof. Matias del Hoyo – mdelhoyo@im.ufrj.br