Doutorado: Programa da prova
Espaço Métricos. Compactos. Conexos. Continuidade. Diferenciação. Integral de Riemann-Stieltjes. Sucessões e séries de funções. Teorema de Stone-Weierstrass. Funções de várias variáveis. Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos. Derivada como transformação linear. O gradiente. Regra da cadeia. Caminhos no Rn. Aplicações de classe Cn: fórmula de Taylor. Sequências e séries de funções. Teorema da função inversa; formas locais de imersões e submersões; funções implícitas; teorema do posto. Superfícies; multiplicadores de Lagrange. Integrais múltiplas. Teorema de Stokes.
Referências:
RUDIN, W- Principles of mathematical analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., 1976.
LIMA, E. L. – Análise no espaço Rn. Coleção MatemáticaUniversitária, Rio de Janeiro, IMPA, 2004.
LIMA, E. L. – Curso de Análise. Vols. 1 e 2. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1989.
Mestrado: Programa da prova
Análise e Topologia:
1. Sequências e séries de números reais e funções: critérios para convergência.
2. Continuidade: Limites de funções reais, funções contínuas e descontínuas, continuidade uniforme.
3. Diferenciabilidade: a derivada e suas propriedades. Teorema do Valor Médio e consequências. Fórmula de Taylor.
4. Integral de Riemann, O Teorema Fundamental de Cálculo.
5. Noções básicas de topologia (no Rn): conjuntos abertos, fechados, densos, perfeitos, conjuntos conexos, compacidade.
Referências:
RUDIN, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
LIMA, E.L. Curso de Análise, vol. 1, 10 ed., Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA 2002.
Álgebra Linear:
1. Espaços vetoriais reais e complexos, base e dimensão.
2. Matrizes e Transformações lineares. Núcleo e imagem. Isomorfismo.
3. Autovalores e autovetores. Subespaços invariantes. Diagonalização de operadores. Forma canônica de Jordan.
4. Espaços com produto interno. Ortogonalidade. Isometrias. Operadores autoadjuntos.
Referências:
HOFFMAN, K. KUNZE, R., Álgebra Linear, 2a. ed., Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos 1979.
LIMA, E.L., Álgebra Linear, Rio de Janeiro, IMPA, CNPq, 1996. Coleção Matemática Universitária.
Álgebra:
1. Grupos: definições e exemplos (grupos lineares, simétrico, cíclico, diedral). Subgrupos, classes laterais, teorema de Lagrange. Subgrupos normais e grupo quociente. Teorema do Isomorfismo.
2. Anéis comutativos: definições e exemplos (anel dos inteiros, dos inteiros de Gauss, polinômios). Domínios e corpos: definições e exemplos. Ideais e anel quociente. Teorema do Isomorfismo.
Referências:
ARTIN, M., Algebra. Prentice-Hall, New Jersey, 1991.
GARCIA, A. e LEQUAIN, Y., Álgebra: Um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1988.